Bài giảng môn Toán Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình, Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Tiết 1)

Nội dung text: Bài giảng môn Toán Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình, Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Tiết 1)

1. LỚP 10 ĐẠI SỐ Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 4 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TIẾT 1 I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN II BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TIẾT 2 III HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN IV ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN V TÓM TẮT BÀI HỌC
2. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN III. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ghi nhớ 풙 + 풚 > 풙 + 풚 > 2. Các bước xác định miền nghiệm của hệ BPT bậc nhất hai ẩn . . . (Có thể thay dấu “ > ” bằng các dấu “ 풏 ➢ Bước 1: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ các đường thẳng là (풅 ): 풙 + 풚 = ; (풅 ): 풙 + 풚 = ; . ; 풅풏 : 풏풙 + 풏풚 = 풏. ➢ Bước 2: Chọn điểm M(x0;y0) không nằm trên các đường thẳng vừa vẽ, thay tọa độ của M vào từng BPT của hệ. Từ đó xác định miền nghiệm của từng BPT trong hệ. Tô đậm (hoặc gạch chéo) những phần mặt phẳng không là miền nghiệm của các BPT. ➢ Bước 3: Ta kết luận phần mặt phẳng không tô đậm ( hoặc không gạch chéo) là miền nghiệm của hệ. 3. Bài tập áp dụng:
3. Ví dụ 2 3x+ y 6 x+ y 4 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x0 y0 Bài giải ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ các đường thẳng: y (d2) (d1) (d1): 3x + y = 6  A I (d2): x + y = 4  (d3): x = 0 (d ): y = 0 4 M ➢ Kiểm tra thấy điểm M(1; 1) thỏa mãn tất cả các bất phương  3 + 1 ≤ 6 C x 1 + 1 ≤ 4 O  trình trong hệ vì: (t/m). (d4) 1 ≥ 0 1 ≥ 0 (d3) Ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d1), (d2), (d3), (d4) không chứa điểm M. Có (d1) (d2)=I(1; 3); (d2) (d3)=A(0; 4), (d1) (d4)=C(2; 0), (d3) (d4)=O(0; 0). ➢ Miền không bị tô đậm (miền trong tứ giác AICO, kể cả 4 cạnh AI, IC, OC, OA) là miền nghiệm của hệ đã cho.
4. Ví dụ 4 풙 + 풚 < ​​​​​​( ) Cho hệ ቐ . Gọi 푺 , 푺 lần lượt là miền nghiệm của 2 bất phương trình (1), (2). 풙 + 풚 < ​​​​​​​​ ( ) So sánh hai miền nghiệm 푺 và 푺 . Bài giải Cách 1: ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ hai đường thẳng: 5 5 : 2 + 3 =5: qua ; 0 , (0; ). 1 1 2 1 3 3 10 : + = 5: qua 5 ; 0 , (0; ). 2 2 2 2 3 ➢ Chọn điểm (0; 0), thay tọa độ vào hệ BPT, được: + Thay vào (1): 0 < 5 ( t/m) ⇒ Gạch chéo nửa mặt phẳng bờ là 1 không chứa điểm . Miền nghiệm của (1) là miền S1 không bị gạch . + Thay vào (2): 0 < 5 ( t/m) ⇒ Gạch chéo nửa mặt phẳng bờ là 2 không chứa điểm . Miền nghiệm của (2) là miền 푆2 không bị gạch. ➢ Vậy từ đồ thị ta thấy 푆1 ⊂ 푆2. 2 + 3 < 5 (1) 2 + 3 < 5 (1) Cách 2 : ൝ 3 ⟺ ൜ . + < 5​​​​​​​​ (2) 2 + 3 < 10 (2) 2 Dễ thấy mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2). Vậy 푆1 ⊂ 푆2.
5. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN III. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN IV. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ứng dụng của hệ BPT bậc nhất hai ẩn Tìm GTLN, GTNN của biểu Bài toán kinh tế tối ưu. thức F(x,y) = ax + by, với (x; y) (Chi phí thấp nhất; Lãi thuộc miền nghiệm của hệ suất cao nhất; .) BPT bậc nhất 2 ẩn .
6. Ví dụ 6 ≤ 풚 ≤ ퟒ 풙 ≥ 푭 풙; 풚 = 풙 + 풚 Tìm GTLN của biểu thức với (x; y) là nghiệm của hệ : 풙 − 풚 − ≤ . 풙 + 풚 − ≤ Bài giải ≥ 0 0 ≤ ≤ 4 ≤ 4 ≥ 0 ⟺ ≥ 0 . Có − − 1 ≤ 0 − − 1 ≤ 0 + 2 − 10 ≤ 0 + 2 − 10 ≤ 0 ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ các đường thẳng 1: =0 (trục Ox); 2: = 4 ; 3: = 0(trục Oy) 4: − − 1 = 0; 5: + 2 − 10 = 0. Miền nghiệm là ngũ giác với : 4 ∩ 5 = 4; 3 ; 2 ∩ 5 = 2; 4 ; 2 ∩ 3 = 0; 4 ; 1∩ 3 = 0; 0 ; 1 ∩ 4 = 1; 0 . ➢ Ta có: 퐹 4; 3 = 10, 퐹 2; 4 = 10, 퐹 0; 4 = 8, 퐹 1; 0 = 1, 퐹 0; 0 = 0. ➢ Vậy max 퐹 ; = 10. CASIO
7. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F(x,y)=ax+by, với (x; y) là nghiệm của hệ BPT bâc nhất 2 ẩn Ví dụ 7 풙 − 풚 ≤ 풙 + 풚 ≤ Cần tìm miền nghiệm của hệ bpt 풙 ≥ và GTNN – GTLN 풚 ≥ của biểu thức 푭(풙; 풚) = 풙 + 풚 trên miền nghiệm đó. Bài giải ➢ Làm theo dạng 3 ta có miền nghiệm là miền tứ giác 25 9 kể cả các cạnh với (0; 3), ; , 8 8 (2; 0) và (0; 0) (phần không tô màu, tính cả cạnh). Vậy A đúng. 25 9 17 ➢ Có 퐹(0; 3) = 3, 퐹( ; ) = , 퐹(2; 0) = 2, 퐹(0; 0) = 0 8 8 4 17 ➢ Do đó, max퐹 = , min퐹 = 0. Suy ra C, D đúng . 4 17 ➢ Vậy 0 ≤ + ≤ . Suy ra B sai. Vậy chọn B. 4
8. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN IV. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 5. Bài toán kinh tế tối ưu Các bước giải ➢ Bước 1. Từ các giả thiết của bài toán kinh tế tối ưu ta đưa về bài toán tìm GTNN – GTLN. Cụ thể: + Đặt ẩn phụ x, y cho bài toán. + Tìm các điều kiện của x, y. + Tìm biểu thức T = F(x, y) cần tìm GTLN – GTNN. ➢ Bước 2. Sử dụng Dạng 4 (đã học) để tìm GTLN – GTNN của T = F(x, y) với các điều kiện của x, y đã biết.
9. Ví dụ 8 0 ≤ ≤ 1,6 0 ≤ ≤ 1,1 Tìm , thuộc miền nghiệm của (I) để = 160 + 110 đạt giá trị nhỏ nhất. 8 + 6 ≥ 9 + 2 ≥ 2 Bài giải ➢ Miền nghiệm của hệ trên là tứ giác ABCD (kể cả biên). ➢ Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD: Tại A(0,6; 0,7): T = 160.0,6+110.0,7=173 (nghìn). Tại B(1,6; 0,2): = 160.1,6 + 110.0,2 = 278 (nghìn). Tại C(1,6; 1,1): = 160.1,6 + 110.1,1 = 377 (nghìn). Tại D(0,3; 1,1): = 160.0,3 + 110.1,1 = 169 (nghìn). ⇒ T đạt GTNN khi = 0,3; = 1,1 . Vậy cần = 0,3 kg thịt bò, = 1,1 kg thịt lợn .
10. Ví dụ 9 0 ≤ ≤ 10 0 ≤ ≤ 9 Xét hệ bất phương trình ∗ . 20 + 10 ≥ 140 0,6 + 1,5 ≥ 9 Ta cần tìm ( ; ) thuộc miền nghiệm của (*) để = 4 + 3 đạt GTNN. Bài giải ➢ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ∗ là tứ giác kể cả miền trong của tứ giác (như hình vẽ) ➢ Biểu thức = 4 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác . 5 ➢ Thay tọa độ 10; 2 ; 10; 9 ; ; 9 ; 5; 4 vào 2 Có ( ) = 46, ( ) = 67 , ( ) = 37, ( ) = 32. = 5 ➢ Vậy = 4 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất tại ቊ . = 4 Khi đó, 푖푛 =32 (triệu đồng).