Đề tuyển sinh Lớp 10 chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề tuyển sinh Lớp 10 chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH NINH BèNH Năm học 2021 - 2022 Bài thi mụn chuyờn: TOÁN; Ngày thi: 10/6/2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Đề thi gồm 05 cõu, trong 01 trang Cõu 1 (2,0 điểm): a 2 a 1 a 1 Cho biểu thức A= + + : với a 0, a 1. a a 1 a a 1 1 a 2 1. Rỳt gọn biểu thức A. 2. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A. Cõu 2 (2,0 điểm): x2 4y2 17 1. Giải hệ phương trỡnh . 2xy x 2y 1 2. Giải phương trỡnh 29 x2 2x 3 x2. Cõu 3 (1,0 điểm): 1 1 1 Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món 12. x y y z z x 1 1 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P  2x 3y 3z 3x 2y 3z 3x 3y 2z Cõu 4 (3,5 điểm): Trờn đường trũn tõm O , lấy hai điểm B, C cố định, BC khụng đi qua tõm O. A là một điểm di động trờn cung lớn BC sao cho tam giỏc ABC nhọn và AB AC. Cỏc đường cao AD, BE, CF của tam giỏc ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng d đi qua D và song song với EF, cắt cỏc đường thẳng AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng: 1. Tứ giỏc BFEC và tứ giỏc MBNC nội tiếp đường trũn. 2. Tam giỏc EDI đồng dạng với tam giỏc PEI và H là trực tõm của tam giỏc API. 3. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP luụn đi qua một điểm cố định. Cõu 5 (1,5 điểm): 1. Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x, y) thỏa món phương trỡnh 7(x 2y)3 (y x) 8y 5x 1. 2. Một giải cờ vua cú n kỳ thủ tham gia với thể thức thi đấu như sau: Mỗi kỳ thủ đều thi đấu với tất cả cỏc kỳ thủ khỏc; mỗi cặp kỳ thủ chỉ thi đấu một vỏn. Sau mỗi vỏn đấu, người thắng được 2 điểm, người thua được 0 điểm, mỗi người được 1 điểm nếu vỏn đấu hũa. a) Tớnh theo n số vỏn đấu của giải? b) Biết rằng khi giải đấu kết thỳc, tổng số điểm mà mỗi kỳ thủ đạt được đụi một khỏc nhau và điều bất ngờ nhất là kỳ thủ đứng cuối lại thắng cả ba kỳ thủ đứng đầu (thứ tự xếp hạng theo điểm giảm dần từ cao xuống thấp). Chứng minh rằng n khụng thể bằng 12. --------HẾT-------- Lưu ý: Thớ sinh được sử dụng mỏy tớnh cầm tay khụng cú thẻ nhớ và khụng cú chức năng soạn thảo văn bản. Họ và tờn thớ sinh:...................................................... Số bỏo danh:................................................ Họ và tờn, chữ ký: Cỏn bộ coi thi thứ nhất:................................................................................. Cỏn bộ coi thi thứ hai:...................................................................................
2. - 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TỈNH NINH BèNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2021 - 2022 Bài thi mụn chuyờn: TOÁN - Ngày thi: 10/6/2021 (Hướng dẫn chấm gồm 09 trang) I. Hướng dẫn chung 1. Bài làm của học sinh đỳng đến đõu cho điểm đến đú. 2. Học sinh cú thể sử dụng kết quả cõu trước làm cõu sau. 3. Đối với bài hỡnh, nếu vẽ sai hỡnh hoặc khụng vẽ hỡnh thỡ khụng cho điểm. 4. Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn mà đỳng vẫn cho đủ điểm, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất. 5. Việc chi tiết hoỏ thang điểm (nếu cú) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo khụng sai lệch và cú biờn bản thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi. 6. Tuyệt đối khụng làm trũn điểm. II. Hướng dẫn chi tiết Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 a 2 a 1 a 1 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức A= + + : với a 0, a 1. a a 1 a a 1 1 a 2 Rỳt gọn biểu thức A . a 2 a 1 a 1 Ta cú P : 0,25 ( a 1)(a a 1) a a 1 a 1 2 a 2 a ( a 1) a a 1 a 1 : 0,25 ( a 1)(a a 1) 2 í 1 a 2 a a a a 1 a 1 : 0,25 ( a 1)(a a 1) 2 ( a 1)2 a 1 : 0,25 ( a 1)(a a 1) 2 ( a 1)2 2 . 0,25 ( a 1)(a a 1) a 1 2 0,25 a a 1 í 2 2 (0,5 điểm). Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A. 2 Ta cú: a a 1 1,a 0 . Suy ra A 2 a a 1 0,25 Dấu đẳng thức xảy ra khi a 0 . Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi a 0 . 0,25 2 2 Cõu x 4y 17 (*) 1 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: 2 2xy x 2y 1 (**) Cỏch 1 Cỏch 1. Từ phương trỡnh (**) ta cú 0,25
3. - 2 - x 1 2xy x 2y 1 2y(x 1) (x 1) 0 (x 1)(2y 1) 0 1 y 2 Với x 1, từ phương trỡnh (*) ta cú y2 4 y 2 thỏa món 0,25 1 2 Với y , từ phương trỡnh (*) ta cú x 16 x 4 thỏa món 0,25 2 1 1  Vậy hệ cú cỏc nghiệm là (x, y) 4, ; 1, 2 ; 1,2 ; 4, . 0,25 2 2  Cỏch 2 Cỏch 2. Đặt t 2y , hệ phương trỡnh trở thành 2 2 2 x t 17 (*) (x t) 2xt 17 2 x t 5 0,25 (x t) 2(x t) 15 2xt 2(x t) 2 2xt 2(x t) 2 x t 3 Trường hợp 1. x t 5 t 5 x , thay vào phương trỡnh (*) ta cú x 1 x2 (5 x)2 17 x2 5x 4 0 x 4 0,25 Với x 1 y 2 thỏa món 1 Với x 4 y thỏa món 2 Trường hợp 2. x t 3 t 3 x , thay vào phương trỡnh (*) ta cú x 1 x2 ( 3 x)2 17 x2 3x 4 0 x 4 0,25 Với x 1 y 2 thỏa món 1 Với x 4 y thỏa món. 2 1 1  Vậy hệ cú cỏc nghiệm là (x, y) 4, ; 1, 2 ; 1,2 ; 4, . 0,25 2 2  Cỏch 3 Cỏch 3. Từ hệ phương trỡnh ta cú 2 2 2 x 2y 5 0,25 x 4y 4xy 2(x 2y) 15 x 2y 2 x 2y 15 x 2y 3 Trường hợp 1: thay x 2y 5 vào x2 4y2 17 ta được 1 y (2y 5)2 4y2 17 2y2 5y 2 0 2 y 2 0,25 Với y 2 x 1. 1 Với y x 4 2 Trường hợp 2: thay x 2y 3 vào x2 4y2 17 ta được y 2 2 2 2 (2y 3) 4y 17 2y 3y 2 0 1 y 2 0,25 Với y 2 x 1. 1 Với y x 4 2
4. - 3 - 1 1  Vậy hệ cú cỏc nghiệm là (x, y) 4, ; 1, 2 ; 1,2 ; 4, . 0,25 2 2  í 2 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: 29 x2 2x 3 x2 (1) Cỏch 3 Cỏch 1. Điều kiện xỏc định: x 29 . 0,25 1 2 2 3 29 x 5 2 2 Với x 2 , ta cú 2x 3 x 29 x 0,25 2 2 2x 3 x 5 2 29 x 5 2 2 Với 2 x 29 , ta cú 2x 3 x 29 x 0,25 2 2x 3 x 5 2 2 Với x 2, ta cú 2x 3 x 29 x 0,25 Vậy x 2 là nghiệm của phương trỡnh. Cỏch 2 3 Cỏch 2. Điều kiện xỏc định: x 29 . 0,25 2 (1) 29 x2 5 2x 3 1 x2 4 4 x2 2 x 2 x2 4 29 x2 5 2x 3 1 0,25 2 x 2 x 2 x+2+ 0 (*) 2x 3 1 29 x2 5 3 2 x 2 Do x 29 nờn x+2+ 0 0,25 2 2x 3 1 29 x2 5 Phương trỡnh (*) tương đương x 2 0 x 2 thỏa món điều kiện. 0,25 Vậy x 2 là nghiệm của phương trỡnh. Cõu 3 1 1 1 1. (1,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món 12 . x y y z z x 1 1 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P  2x 3y 3z 3x 2y 3z 3x 3y 2z ùỡ a = x + y ù 1 1 1 Cỏch 1. Đặt ớù b = y + z (a, b, c>0) ị + + = 12 ù a b c 0,25 ợù c = x + z Cỏch 1 1 1 1 Ta cú P 2a b c 2b a c 2c b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 4 2a b c 4 2b a c 4 2c a b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2a 4 b c 4 2b 4 a c 4 2c 4 b a 0,25 1 1 1 1 3 4 a b c
5. - 4 - a b c 1 Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 x y z 12 8 0,25 a b c 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 3 khi x y z 8 1 1 1 9 3 Cỏch 2. Ta cú 12 2(x y z) 0,25 x y y z z x 2(x y z) 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta cú 9 1 16  2(x y+z) y z 2x 3y 3z 9 1 16 0,25  2(x y+z) x z 3x 2y 3z 9 1 16 2(x y+z) y x 3x 3y 2z  27 16P 12 48 P 3 0,25 2(x y+z) x y y z x z 1 Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 x y z 12 8 0,25 x y y z x z 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 3 khi x y z 8 Cỏch 3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta cú: 1 1 1 1 16 x y y z x z y z 2x 3y 3z 1 1 1 1 16 0,5 x y y z x z x z 3x 2y 3z 1 1 1 1 16 x y x y x z y z 3x 3y 2z Cộng cỏc bất đẳng thức trờn theo vế ta cú 1 1 1 0,25 16P 4 48 P 3. x y y z x z x y y z x z 1 Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 x y z 12 8 x y y z x z 0,25 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 3 khi x y z 8 Cõu 4 Cõu 4 (3,5 điểm). Trờn đường trũn tõm O , lấy hai điểm B, C cố định và BC khụng đi Cõu qua tõm. A là một điểm di động trờn cung lớn BC sao cho tam giỏc ABC nhọn và 4 AB AC. Cỏc đường cao AD, BE, CF của tam giỏc ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng d đi qua D và song song với EF, cắt cỏc đường thẳng AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi
6. - 5 - P là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 1. Tứ giỏc BFEC và tứ giỏc MBNC nội tiếp. 2. EDI ∽ PEI và H là trực tõm của tam giỏc API. 3. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP luụn đi qua một điểm cố định. 0,5 Vẽ hỡnh đỳng để chứng minh ý a cho điểm. í 1 1 (1,5 điểm). Tứ giỏc BFEC và tứ giỏc MBNC nội tiếp. Do BE là đường cao của tam giỏc ABC nờn Bã EC 90 . 0,25 Do CF là đường cao của tam giỏc ABC nờn Bã FC 90 . 0,25 Tứ giỏc BFEC cú hai đỉnh E,F kề nhau, cựng nhỡn BC dưới một gúc vuụng nờn 0,25 tứ giỏc BFEC nội tiếp. Suy ra à FE à CB (vỡ cựng bự với Bã FE ). 0,25 Do FE PMN nờn à FE à MN ( vỡ hai gúc đồng vị). 0,25 Từ đú suy ra à CB à MN . 0,25 Vậy tứ giỏc MBNC nội tiếp đường trũn. í 2 2 (1,0 điểm). EDI ∽ PEI và H là trực tõm của tam giỏc API. í 2.1 2.1 (0,5 điểm). Chứng minh EDI ∽ PEI Cỏch Cỏch 1. Tam giỏc BEC vuụng tại C , I là trung điểm của cạnh BC nờn IE IB . 1 0,25 Do đú IEB cõn tại I , suy ra IãEB IãBE .
7. - 6 - Do tứ giỏc BFEC nội tiếp nờn Fã EB Fã CB . Ta cú Fã HB Fã CB Hã BC Fã EB Hã EI Pã EI (1) Tứ giỏc FAEH nội tiếp đường trũn nờn Fã AC Fã HB (cựng bự với Fã HE ) (2) Từ (1) và (2) suy ra Pã EI Fã AC . Tứ giỏc ABDE nội tiếp đường trũn nờn Bã AC Cã DE ( cựng bự với Bã DE ). 0,25 Suy ra Pã EI IãDE . Do đú EDI ∽ PEI(g.g) (vỡ Pã EI IãDE và I chung). Cỏch 2. Tam giỏc BEC vuụng tại C , I là trung điểm của cạnh BC nờn IE IC . Do đú IEC cõn tại I , suy ra IãEC IãCE . Suy ra Eã IB IãCE IãEC 2Bã CA . 0,25 Tứ giỏc AFDC nội tiếp đường trũn nờn Bã FD Bã CA và Bã DF Bã AC .(3) Tứ giỏc BFEC nội tiếp đường trũn nờn à FE Bã CA . Cỏch 2 Xột tứ giỏc DIEF ta cú Dã FE Dã IE Dã FE 2Bã CA 180 tứ giỏc DIEF nội tiếp. Do đú Pã EI Pã DF . 0,25 Kết hợp với (3) ta cú Bã AC Cã DE . Suy ra Pã EI IãDE . Do đú EDI ∽ PEI(g.g) (vỡ Pã EI IãDE và I chung). Cỏch 3. Tam giỏc BEC vuụng tại C , I là trung điểm của cạnh BC nờn IE IC . Do đú IEC cõn tại I , suy ra IãEC IãCE . 0,25 Tứ giỏc BFEC nội tiếp đường trũn nờn à FE Bã CA . Xột tam giỏc AEF ta cú à FE à EF Eã AF 180 Cã EI à EF Eã AF 180 (4). Cỏch 3 Mặt khỏc, A,E,C thẳng hàng nờn Cã EI à EF Fã EI 180 (5). Từ (4) và (5) ta cú Pã EI Eã AF . 0,25 Tứ giỏc ABDE nội tiếp đường trũn nờn Bã AC Cã DE . Suy ra Pã EI IãDE .  Do đú EDI ∽ PEI(g.g) (vỡ Pã EI IãDE và I chung). í 2.2 2.2 (0,5 điểm). Chứng minh H là trực tõm của tam giỏc API. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng AP với đường trũn (O) . Do đú PBPC PG PA .(6) Tứ giỏc BFEC nội tiếp đường trũn, P EF  BC nờn PE PF PBPC (7) 0,25 Từ (6) và (7) ta cú PE PF PG PA (8), suy ra tứ giỏc AGFE nội tiếp (9). Suy ra G thuộc đường trũn đường kớnh AH , hay HG  AP (10). Do tứ giỏc DFEI nội tiếp đường trũn, P EF  BC nờn PE PF PDPI (11) Từ (8) và (10) ta cú PG PA PDPI , suy ra tứ giỏc AGDI nội tiếp (12). Suy ra G thuộc đường trũn đường kớnh AI , hay IG  AP (13) 0,25 Từ (10) và (13) ta suy ra G, H, I thẳng hàng, hay HI  AP . Lại cú PI  AD , do đú H là trực tõm của tam giỏc API ( điều phải chứng minh). 3 (0,5 điểm). Chứng minh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP luụn đi qua một điểm í 3 cố định. Cỏch Cỏch 1. Do tứ giỏc MBNC nội tiếp đường trũn nờn DM DN DBDC (14) 0,25
8. - 7 - 1 EI DI Theo chứng minh trờn, ta cú EDI ∽ PEI PIDI EI2 BI2 CI2 PI EI Suy ra DI PD DI IB2 DIDP IB2 ID2 IB ID IC ID DBDC (15). Từ (14) và (15) ta cú DM DN DIDP . Suy ra tứ giỏc PMIN nội tiếp. 0,25 Do B,C cố định nờn M cố định. Do đú đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP luụn đi qua điểm M cố định. Cỏch 2. Ta cú Pã EI IãDE ( theo chứng minh trờn) và Fã DP IãDE nờn Pã EI Fã DP . Do đú tứ giỏc DIEF nội tiếp. PD PE Suy ra PDF ∽ PEI(g.g) (16) DF EI ED PE Theo chứng minh trờn EDI ∽ PEI (17) 0,25 DI EI PD ED Từ (16) và (17) ta cú (18) DF DI Do Dã FM Dã MF (vỡ cựng bằng à CB ) nờn DFM cõn tại D . Do đú DF DM .(*) Cỏch Ta cú FE PMN nờn à EF à NM .(19) 2 Tứ giỏc BFEC nội tiếp đường trũn nờn à EF à BC.(20) Từ (19) và (20) ta cú à NM à BC .(21) Tứ giỏc ABDE nội tiếp đường trũn nờn Dã EN à BC .(22) Từ (21) và (22) ta cú à NM Dã EN . Suy ra tam giỏc DEN cõn tại D . 0,25 Do đú DE DN ( **) PD DN Từ (18), (*) và (**) ta cú DP DI DN DM , suy ra tứ giỏc PMIN DM DI nội tiếp. Do B,C cố định nờn M cố định. Do đú đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP luụn đi qua điểm M cố định. Cõu 5 (0,5 điểm). Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x, y) thỏa món phương trỡnh: í 1 7(x+2y)3 (y x) 8y 5x 1.
9. - 8 - Cỏch 1. Phương trỡnh tương đương với 7(x+2y)3 (y x) x 2y 6(y x) 1. a x 2y Đặt b y x Phương trỡnh ban đầu trở thành 7a3b a 6b 1 b(7a3 6) a 1 (*) Do x, y nguyờn nờn a,b nguyờn. Do đú 7a3 6 0 . 0,25 a 1 7a3 7 13 Từ phương trỡnh (*) ta cú b 7b(a 2 a 1) 1 7a3 6 7a3 6 7a3 6 13 Do a,b nguyờn nờn 7b(a 2 a 1) nguyờn. Do đú nguyờn. 7a3 6 3 3 Vậy 7a 6 là ước của 13, hay 7a 6 1;1;13; 13 a 1;1 . Với a 1 b 0 . x 2y 1 1 Ta cú hệ phương trỡnh x y (loại). y x 0 3 Với a 1 b 2 . 0,25 x 2y 1 x 1 Ta cú hệ phương trỡnh y x 2 y 1 Vậy cặp số nguyờn thỏa món phương trỡnh là (x, y) ( 1,1) . Cỏch 2. Phương trỡnh tương đương với 7(x+2y)3 (y x) x 2y 6(y x) 1. a x 2y Đặt b y x 3 Phương trỡnh ban đầu trở thành 7a b a+6b+1. 0,25 Dễ thấy a, b 0 . Xột a 2 a a 2 b 1 3 a 1 a 3 b a 1. Do đú 7a3b a+6b+1 a 6 b 1 a 3 b 6 a 3 b 7a3b (vụ lý). Với a 1 b 0 . x 2y 1 1 Ta cú hệ phương trỡnh x y (loại) y x 0 3 Với a 1 b 2 . 0,25 x 2y 1 x 1 Ta cú hệ phương trỡnh y x 2 y 1 Vậy cặp số nguyờn thỏa món phương trỡnh là (x, y) ( 1,1) . 2 (1,0 điểm). Một giải cờ vua cú n kỳ thủ tham gia với thể thức thi đấu như sau: Mỗi kỳ thủ đều thi đấu với tất cả cỏc kỳ thủ khỏc; mỗi cặp kỳ thủ chỉ thi đấu một vỏn. Sau mỗi vỏn đấu, người thắng được 2 điểm, người thua được 0 điểm, mỗi người được 1 điểm nếu vỏn đấu hũa. í 2 a) Tớnh theo n số vỏn đấu của giải? b) Biết rằng khi giải đấu kết thỳc, tổng số điểm mà mỗi kỳ thủ đạt được đụi một khỏc nhau và điều bất ngờ nhất là kỳ thủ đứng cuối lại thắng cả ba kỳ thủ đứng đầu (thứ tự xếp hạng theo điểm giảm dần từ cao xuống thấp). Chứng minh rằng n khụng thể bằng 12. a) Tớnh theo n số vỏn đấu của giải?
10. - 9 - Cỏch 1. Nhận xột: Mỗi vỏn đấu cú hai kỳ thủ tham gia. Ta tớnh tổng số lượt tham gia vào cỏc vỏn đấu của n kỳ thủ. Do mỗi kỳ thủ tham gia vào n 1 vỏn đấu nờn số lượt tham gia cỏc vỏn đấu của 0,25 mỗi kỳ thủ là n 1. Suy ra tổng số lượt tham gia vào cỏc vỏn đấu của n kỳ thủ là n(n 1) . n(n 1) Do đú cú tất cả vỏn đấu. 0,25 2 Cỏch 2. Kỳ thủ thứ nhất tham gia n 1 vỏn. Kỳ thủ thứ hai tham gia n 2 vỏn (khụng kể vỏn đấu với kỳ thủ thứ nhất). 0,25 Kỳ thủ thứ n 1 tham gia 1 vỏn với kỳ thủ thứ n (khụng kể vỏn đấu với cỏc kỳ thủ trờn). n(n 1) Do đú tổng số vỏn đấu là n 1 n 2 L 1  0,25 2 b) Biết rằng khi giải đấu kết thỳc, tổng số điểm mà mỗi kỳ thủ đạt được đụi một khỏc nhau và điều bất ngờ nhất là kỳ thủ đứng cuối lại thắng cả ba kỳ thủ đứng đầu (thứ tự xếp hạng theo điểm giảm dần từ cao xuống thấp). Chứng minh rằng n khụng thể bằng 12. Giả sử cú 12 kỳ thủ và điểm của mỗi kỳ thủ xếp thứ tự từ 1 đến 12 là a1;a 2;.........a12 (a1 a2 ... a12 ) . 0,25 Vỡ kỳ thủ thứ 12 đó thắng cả 3 kỳ thủ đứng đầu nờn kỳ thủ thứ 12 phải được ớt nhất 6 điểm. Do đú a12 6. Vỡ mỗi kỳ thủ đạt được một số điểm khỏc nhau mà a12 6 nờn a11 7;a10 8;...;a1 17. Tổng số điểm của 12 kỳ thủ là: a1 a 2 ... a12 6 7 ... 17 a1 a 2 ... a12 138 (*) 0,25 Với n 12 thỡ tổng số vỏn đấu là 66. Dự trận đấu đú cú phõn thắng bại hay hũa thỡ tổng số điểm đạt được của 2 kỳ thủ từ vỏn đấu đều là 2. Do đú tổng số điểm của 12 kỳ thủ là 662 132 (điểm), mõu thuẫn với (*). Vậy số kỳ thủ của giải đấu khụng thể là 12 người. ------------ Hết ------------